Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{3} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Etapa 3.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Etapa 3.5

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 4.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Etapa 4.2.2

Fatore $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Etapa 4.2.3

Fatore $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Etapa 4.3

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Etapa 4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.7

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Etapa 4.8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Etapa 4.9

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 4.9.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 4.9.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Etapa 4.9.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Etapa 4.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Etapa 4.9.3

Some $2$ e $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Etapa 4.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$