Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \tan (\sqrt{3 x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra do produto a $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 1.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3

Como $3^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{\frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3^{\frac{1 + 2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6.3

Some $1$ e $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 14

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 15

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2}$ e $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Etapa 16

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$