Cálculo Exemplos

$f (x) = 30 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$

Etapa 1

Reescreva ${(65 + 5 t)}^{2}$ como $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ .

$\frac{d}{d t} [30 ((65 + 5 t) (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Etapa 2

Expanda $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 (65 + 5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $65$ por $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Etapa 3.1.2

Multiplique $5$ por $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Etapa 3.1.3

Multiplique $65$ por $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Etapa 3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t \cdot t) - 1300 t]$

Etapa 3.1.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.5.1

Mova $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 (t \cdot t)) - 1300 t]$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t^{2}) - 1300 t]$

Etapa 3.1.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Etapa 3.2

Some $325 t$ e $325 t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Etapa 4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})]$ .

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Etapa 5.1

Como $30$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})$ em relação a $t$ é $30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4225 + 650 t + 25 t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]$ .

$30 (\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.3

Como $4225$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4225$ em relação a $t$ é $0$ .

$30 (0 + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.4

Como $650$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $650 t$ em relação a $t$ é $650 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (0 + 650 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.6

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25 t^{2}$ em relação a $t$ é $25 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.8

Multiplique $650$ por $1$ .

$30 (0 + 650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.9

Some $0$ e $650$ .

$30 (650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 5.10

Multiplique $2$ por $25$ .

$30 (650 + 50 t) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Etapa 6

Avalie $\frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1300$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1300 t$ em relação a $t$ é $- 1300 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \cdot 1$

Etapa 6.3

Multiplique $- 1300$ por $1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$30 \cdot 650 + 30 (50 t) - 1300$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $30$ por $650$ .

$19500 + 30 (50 t) - 1300$

Etapa 7.2.2

Multiplique $50$ por $30$ .

$19500 + 1500 t - 1300$

Etapa 7.2.3

Subtraia $1300$ de $19500$ .

$1500 t + 18200$