Cálculo Exemplos

$h (x) = {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 1 + \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 7

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 9

Some $1$ e $1$ .

$4 {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3} \frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

Etapa 10

Combine $\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ e $4$ .

$\frac{((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)) \cdot 4}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

Etapa 11

Mova $4$ para a esquerda de $(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cdot ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})}^{3}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{4 ((1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (1 (- \sin (x))) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4

Combine os termos.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (- 1 \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.2

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\frac{4 (- \sin (x)) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (\sin (x) (- \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 4 \sin (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.8

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 (- \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.9

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.10

Multiplique $\frac{- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$ por $\frac{\cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{3}}$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2} {(1 + \sin (x))}^{3}}$

Etapa 12.4.11

Multiplique ${(1 + \sin (x))}^{2}$ por ${(1 + \sin (x))}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.4.11.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2 + 3}}$

Etapa 12.4.11.2

Some $2$ e $3$ .

$\frac{(- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.6

Fatore $- 4$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.7

Fatore $- 4$ de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.8

Fatore $- 4$ de $- 4 (\sin^{2} (x)) - 4 (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.10

Fatore $- 4$ de $- 4 \sin (x) - 4 \cdot 1$ .

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Etapa 12.10.1

Fatore $- 4$ de $- 4 \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 \cdot 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.10.2

Fatore $- 4$ de $- 4 \cdot 1$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x)) - 4 (1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.10.3

Fatore $- 4$ de $- 4 (\sin (x)) - 4 (1)$ .

$\frac{\cos^{3} (x) (- 4 (\sin (x) + 1))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.11

Cancele o fator comum de $\sin (x) + 1$ e ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

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Etapa 12.11.1

Reordene os termos.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.11.2

Fatore $1 + \sin (x)$ de $\cos^{3} (x) \cdot - 4 (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{{(1 + \sin (x))}^{5}}$

Etapa 12.11.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.11.3.1

Fatore $1 + \sin (x)$ de ${(1 + \sin (x))}^{5}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

Etapa 12.11.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\cos^{3} (x) \cdot - 4)}{(1 + \sin (x)) {(1 + \sin (x))}^{4}}$

Etapa 12.11.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos^{3} (x) \cdot - 4}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

Etapa 12.12

Mova $- 4$ para a esquerda de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{- 4 \cdot \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$

Etapa 12.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 \cos^{3} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{4}}$