Cálculo Exemplos

$h (x) = \frac{\ln (6 t)}{\ln (12 t)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = \ln (6 t)$ e $g (t) = \ln (12 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) \frac{d}{d t} [\ln (6 t)] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 6 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 t$ .

$\frac{\ln (12 t) (\frac{1}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{6 t}$ e $\ln (12 t)$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [6 t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{6 t} (6 \frac{d}{d t} [t]) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Combine $6$ e $\frac{\ln (12 t)}{6 t}$ .

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{6 \ln (12 t)}{6 t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \frac{d}{d t} [t] - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} \cdot 1 - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{\ln (12 t)}{t}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{t}{t} \cdot \frac{\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)]}{\ln^{2} (12 t)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine.

$\frac{t (\frac{\ln (12 t)}{t} - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t \frac{\ln (12 t)}{t} + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) \frac{d}{d t} [\ln (12 t)])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 12 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 6.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $12 t$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \ln (6 t) (\frac{1}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]))}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{12 t}$ e $\ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + t (- \frac{\ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Combine $t$ e $\frac{\ln (6 t)}{12 t}$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{t \ln (6 t)}{12 t} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [12 t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.3

Como $12$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $12 t$ em relação a $t$ é $12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\ln (12 t) - \frac{\ln (6 t)}{12} (12 \frac{d}{d t} [t])}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - 12 \frac{\ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4.2

Combine $- 12$ e $\frac{\ln (6 t)}{12}$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- 12 \ln (6 t)}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4.3

Cancele o fator comum de $- 12$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.1

Fatore $12$ de $- 12 \ln (6 t)$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.3.2.1

Fatore $12$ de $12$ .

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 (1)} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{12 (- \ln (6 t))}{12 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (12 t) + \frac{- \ln (6 t)}{1} \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.4.3.2.4

Divida $- \ln (6 t)$ por $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \frac{d}{d t} [t]}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t) \cdot 1}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 7.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (12 t) - \ln (6 t)}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{12 t}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore $6$ de $12 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $6$ de $6 t$ .

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 (t)})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{6 (2 t)}{6 t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{2 t}{t})}{t \ln^{2} (12 t)}$

Etapa 10.2

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{\ln (2)}{t \ln^{2} (12 t)}$