Cálculo Exemplos

$h (x) = 5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5^{3 x - 5} + e^{x \cos (x)} + \log_{4} (x^{4} + 7 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [5^{3 x - 5}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 5^{x}$ e $g (x) = 3 x - 5$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x - 5$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x - 5$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \frac{d}{d x} [3 x - 5] + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) (3 + 0) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.7

Some $3$ e $0$ .

$5^{3 x - 5} \ln (5) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 2.8

Mova $3$ para a esquerda de $5^{3 x - 5} \ln (5)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \cos (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\log_{4} (x^{4} + 7 x)]$ .

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \log_{4} (x)$ e $g (x) = x^{4} + 7 x$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d u_{3}} [\log_{4} (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\log_{4} (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\frac{1}{u_{3} \ln (4)}$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{u_{3} \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x^{4} + 7 x$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7 x]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Etapa 4.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7 \cdot 1)$

Etapa 4.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{(x^{4} + 7 x) \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Etapa 5.3

Remova os parênteses desnecessários.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) + e^{x \cos (x)} x (- \sin (x)) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)} (4 x^{3} + 7)$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$3 \cdot 5^{3 x - 5} \ln (5) - e^{x \cos (x)} x \sin (x) + e^{x \cos (x)} \cos (x) + (4 x^{3} + 7) \frac{1}{x^{4} \ln (4) + 7 x \ln (4)}$