Cálculo Exemplos

$h (x) = \ln (6 x + \sqrt{36 x^{2} - 2})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{36 x^{2} - 2}$ como ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 36 x^{2} - 2$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{{(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 9.3

Mova ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $36 x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Etapa 11

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Etapa 13

Multiplique $2$ por $36$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Etapa 14

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + 0))$

Etapa 15

Simplifique os termos.

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Etapa 15.1

Some $72 x$ e $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x))$

Etapa 15.2

Combine $72$ e $\frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Etapa 15.3

Combine $\frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72 x}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 15.4

Fatore $2$ de $72 x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 16

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.1

Fatore $2$ de $2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})})$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Multiplique $6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 17.3.1

Multiplique $\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.3.2

Combine.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.5

Cancele o fator comum de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 17.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 17.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.6

Fatore $6$ de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x$ .

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Etapa 17.6.1

Fatore $6$ de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$ .

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.6.2

Fatore $6$ de $36 x$ .

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.6.3

Fatore $6$ de $6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.7

Fatore ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 17.7.1

Mova ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.7.2

Fatore ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de $6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.7.3

Fatore ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.7.4

Fatore ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.8

Reordene os termos.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.9

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 17.10

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$