Cálculo Exemplos

$h (t) = \frac{- 0.05 t^{2}}{2 t + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d t} [- \frac{0.05 t^{2}}{2 t + 1}]$

Etapa 1.2

Como $- 0.05$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{0.05 t^{2}}{2 t + 1}$ em relação a $t$ é $- 0.05 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2 t + 1}]$ .

$- 0.05 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{2 t + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 2 t + 1$ .

$- 0.05 \frac{(2 t + 1) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 0.05 \frac{(2 t + 1) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $2 t + 1$ .

$- 0.05 \frac{2 \cdot (2 t + 1) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} (2 + 0)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $2$ e $0$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - t^{2} \cdot 2}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 0.05 \frac{2 (2 t + 1) t - 2 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Combine $- 0.05$ e $\frac{2 (2 t + 1) t - 2 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 0.05 (2 (2 t + 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{0.05 (2 (2 t + 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{0.05 ((2 (2 t) + 2 \cdot 1) t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{0.05 (2 (2 t) t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{0.05 (2 (2 t) t) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1.1

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.4.1.1.1

Mova $t$ .

$- \frac{0.05 (2 (2 (t \cdot t))) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.1.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$- \frac{0.05 (2 (2 t^{2})) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{0.05 (4 t^{2}) + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.3

Multiplique $4$ por $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.05 (2 \cdot 1 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.05 (2 t) + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.5

Multiplique $2$ por $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.1 t + 0.05 (- 2 t^{2})}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.1.6

Multiplique $- 2$ por $0.05$ .

$- \frac{0.2 t^{2} + 0.1 t - 0.1 t^{2}}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $0.1 t^{2}$ de $0.2 t^{2}$ .

$- \frac{0.1 t^{2} + 0.1 t}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $0.1 t$ de $0.1 t^{2} + 0.1 t$ .

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Etapa 4.5.1

Fatore $0.1 t$ de $0.1 t^{2}$ .

$- \frac{0.1 t (t) + 0.1 t}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Fatore $0.1 t$ de $0.1 t$ .

$- \frac{0.1 t (t) + 0.1 t (1)}{{(2 t + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5.3

Fatore $0.1 t$ de $0.1 t (t) + 0.1 t (1)$ .

$- \frac{0.1 t (t + 1)}{{(2 t + 1)}^{2}}$