Cálculo Exemplos

$h (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{3}] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 t^{2} - 1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 t^{2} - 1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \cdot {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t^{2} - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t^{2}$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + 0) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $4 t$ e $0$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 3.7.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = t + 1$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $t + 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $t + 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 9.3

Mova ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Etapa 9.4

Combine $\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ e ${(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 12

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1

Some $1$ e $0$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Etapa 13.2

Multiplique $\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14

Para escrever $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t \cdot \frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15

Combine $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ e $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 16

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 17

Multiplique $3$ por $12$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t {(t + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18

Multiplique ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.1

Mova ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{36 ({(t + 1)}^{\frac{1}{3}} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.4

Some $1$ e $2$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{3}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 18.5

Divida $3$ por $3$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 19

Simplifique $36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ .

$\frac{36 (t + 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.2.1

Fatore ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ de $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

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Etapa 20.2.1.1

Fatore ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ de $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.1.2

Fatore ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ de $2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.1.3

Fatore ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ de ${(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.2

Multiplique $36$ por $1$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t \cdot t + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.4

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 20.2.4.1

Mova $t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 (t \cdot t) + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.4.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.8

Some $36 t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (40 t^{2} + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.9

Fatore $2$ de $40 t^{2} + 36 t - 2$ .

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Etapa 20.2.9.1

Fatore $2$ de $40 t^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.9.2

Fatore $2$ de $36 t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.9.3

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.9.4

Fatore $2$ de $2 (20 t^{2}) + 2 (18 t)$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.2.9.5

Fatore $2$ de $2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1)$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} \cdot 2 (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 20.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$