Cálculo Exemplos

$h (t) = {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 3}$ e $g (t) = 6 t^{2} - 5 t$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 t^{2} - 5 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 t^{2} - 5 t$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} \frac{d}{d t} [6 t^{2} - 5 t]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 t^{2} - 5 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Etapa 2.2

Como $6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $6 t^{2}$ em relação a $t$ é $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $6$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t + \frac{d}{d t} [- 5 t])$

Etapa 2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 5 t$ em relação a $t$ é $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5 \cdot 1)$

Etapa 2.7

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 3 {(6 t^{2} - 5 t)}^{- 4} (12 t - 5)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Etapa 3.2

Combine os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$ .

$\frac{- 3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $- \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}} (12 t - 5)$ .

$- (12 t - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(- (12 t) - - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Etapa 3.5

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$(- 12 t - - 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(6 t^{2} - 5 t)}^{4}}$

Etapa 3.7

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.1

Fatore $t$ de $6 t^{2} - 5 t$ .

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Etapa 3.7.1.1

Fatore $t$ de $6 t^{2}$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t) - 5 t)}^{4}}$

Etapa 3.7.1.2

Fatore $t$ de $- 5 t$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t) + t \cdot - 5)}^{4}}$

Etapa 3.7.1.3

Fatore $t$ de $t (6 t) + t \cdot - 5$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{{(t (6 t - 5))}^{4}}$

Etapa 3.7.2

Aplique a regra do produto a $t (6 t - 5)$ .

$(- 12 t + 5) \frac{3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.8

Multiplique $- 12 t + 5$ por $\frac{3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$ .

$\frac{(- 12 t + 5) \cdot 3}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.9

Mova $3$ para a esquerda de $- 12 t + 5$ .

$\frac{3 \cdot (- 12 t + 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.10

Fatore $- 1$ de $- 12 t$ .

$\frac{3 (- (12 t) + 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.11

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{3 (- (12 t) - 1 (- 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.12

Fatore $- 1$ de $- (12 t) - 1 (- 5)$ .

$\frac{3 (- (12 t - 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.13

Reescreva $- (12 t - 5)$ como $- 1 (12 t - 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (12 t - 5))}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$

Etapa 3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 (12 t - 5)}{t^{4} {(6 t - 5)}^{4}}$