Cálculo Exemplos

$h (s) = \frac{s}{\sqrt{s} - 1}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{s}$ como $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s}{s^{\frac{1}{2}} - 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ é $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ , em que $f (s) = s$ e $g (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $s^{\frac{1}{2}} - 1$ por $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $s^{\frac{1}{2}} - 1$ com relação a $s$ é $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ é $n s^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 8.3

Mova $s^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante em relação a $s$ , a derivada de $- 1$ em relação a $s$ é $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 10

Combine frações.

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Etapa 10.1

Some $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 10.2

Combine $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ e $s$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 10.3

Mova $s^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s \cdot s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 11

Multiplique $s$ por $s^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1

Multiplique $s$ por $s^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 11.1.1

Eleve $s$ à potência de $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1} s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1 - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 11.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 11.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 12

Para escrever $s^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 13

Combine $s^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 15

Mova $2$ para a esquerda de $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot s^{\frac{1}{2}} - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 16

Subtraia $s^{\frac{1}{2}}$ de $2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 17

Multiplique $\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 18

Combine.

$\frac{2 (\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1)}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 19

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 20.2

Reescreva a expressão.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Etapa 21

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$