Cálculo Exemplos

$h (t) = \sqrt[4]{t} (\sqrt{t} + t)$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{t}$ como $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (\sqrt{t} + t)]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}} (t^{\frac{1}{2}} + t)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{4}}$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}} + t$ .

$t^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} + t] + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{\frac{1}{2}} + t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 8.3

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [t]) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Etapa 11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 12

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 14

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Etapa 14.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Etapa 15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Etapa 16

Combine $\frac{1}{4}$ e $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 17

Mova $t^{- \frac{3}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 1) + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + (t^{\frac{1}{2}} + t) \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$t^{\frac{1}{4}} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3

Combine os termos.

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Etapa 18.3.1

Combine $t^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{4}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.2

Mova $t^{\frac{1}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3

Multiplique $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{- \frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.3.3.1

Mova $t^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{2 (t^{- \frac{1}{4}} t^{\frac{1}{2}})} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3.3

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.3.3.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 t^{- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{- 1 + 2}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.3.6

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.4

Multiplique $t^{\frac{1}{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.5

Combine $t^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t^{\frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.6

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}} t^{- \frac{1}{2}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7

Multiplique $t^{\frac{3}{4}}$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.3.7.1

Mova $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 (t^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{3}{4}})} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7.3

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.3.7.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{- \frac{2}{4} + \frac{3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{- 2 + 3}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.7.6

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + t \frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.8

Combine $t$ e $\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Etapa 18.3.9

Mova $t^{\frac{3}{4}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t \cdot t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.10

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{3}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 18.3.10.1

Multiplique $t$ por $t^{- \frac{3}{4}}$ .

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Etapa 18.3.10.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1} t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{1 - \frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.10.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.10.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{4 - 3}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.10.4

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} + t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.11

Para escrever $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 t^{\frac{1}{4}}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 18.3.12.1

Multiplique $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{4}}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{2 t^{\frac{1}{4}} \cdot 2} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.12.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{2 + 1}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.14

Some $2$ e $1$ .

$t^{\frac{1}{4}} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 18.3.15

Para escrever $t^{\frac{1}{4}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$t^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 18.3.16

Combine $t^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4}{4} + \frac{t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 18.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{t^{\frac{1}{4}} \cdot 4 + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 18.3.18

Mova $4$ para a esquerda de $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot t^{\frac{1}{4}} + t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 18.3.19

Some $4 t^{\frac{1}{4}}$ e $t^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5 t^{\frac{1}{4}}}{4} + \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$