Cálculo Exemplos

$h (x) = {(x^{2} + 5)}^{2} (x - 5)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{2} + 5)}^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Etapa 2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Etapa 2.4.2

Multiplique ${(x^{2} + 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{2}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (x - 5) (2 (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Mova $2$ para a esquerda de $x - 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Etapa 4.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 2 (x - 5) (x^{2} + 5) (2 x)$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + 4 (x - 5) (x^{2} + 5) x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x + 4 \cdot - 5) (x^{2} + 5) x$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por $- 5$ .

${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Etapa 5.3

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2} + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x^{2} + 5$ de ${(x^{2} + 5)}^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (4 x - 20) (x^{2} + 5) x$

Etapa 5.3.2

Fatore $x^{2} + 5$ de $(4 x - 20) (x^{2} + 5) x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$

Etapa 5.3.3

Fatore $x^{2} + 5$ de $(x^{2} + 5) (x^{2} + 5) + (x^{2} + 5) ((4 x - 20) x)$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + (4 x - 20) x)$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x \cdot x - 20 x)$

Etapa 5.4.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.2.1

Mova $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 (x \cdot x) - 20 x)$

Etapa 5.4.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 5) (x^{2} + 5 + 4 x^{2} - 20 x)$

Etapa 5.5

Some $x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$

Etapa 5.6

Expanda $(x^{2} + 5) (5 x^{2} + 5 - 20 x)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.2.1

Mova $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.2.3

Some $2$ e $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} \cdot 5 + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.3

Mova $5$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 5 \cdot x^{2} + x^{2} (- 20 x) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{2} x + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.7.5.1

Mova $x$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x \cdot x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.7.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 (x^{1} x^{2}) + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{1 + 2} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.5.3

Some $1$ e $2$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.6

Multiplique $5$ por $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 + 5 (- 20 x)$

Etapa 5.7.8

Multiplique $- 20$ por $5$ .

$5 x^{4} + 5 x^{2} - 20 x^{3} + 25 x^{2} + 25 - 100 x$

Etapa 5.8

Some $5 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} + 30 x^{2} + 25 - 100 x$