Cálculo Exemplos

$h (x) = (5 x^{- 2} - 10 x + 7) {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{- 2} - 10 x + 7$ e $g (x) = {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4 x + 5)}^{2}] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{3} - 4 x + 5$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 4 x + 5$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 4 x + 5$ .

$(5 x^{- 2} - 10 x + 7) (2 (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $2$ para a esquerda de $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ .

$2 \cdot (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x + 5] + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4 + 0) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.8

Some $3 x^{2} - 4$ e $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{- 2} - 10 x + 7]$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{- 2} - 10 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.10

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{- 2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.12

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.13

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.15

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 3.16

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10 + 0)$

Etapa 3.17

Some $- 10 x^{- 3} - 10$ e $0$ .

$2 (5 x^{- 2} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 x^{- 3} - 10)$

Etapa 5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (5 \frac{1}{x^{2}} - 10 x + 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (5 \frac{1}{x^{2}}) + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(2 \frac{5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2.2

Combine $2$ e $\frac{5}{x^{2}}$ .

$(\frac{2 \cdot 5}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$(\frac{10}{x^{2}} + 2 (- 10 x) + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2.4

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 2 \cdot 7) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- 10 \frac{1}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2.6

Combine $- 10$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (\frac{- 10}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) (x^{3} - 4 x + 5) (3 x^{2} - 4) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$(3 x^{2} - 4) (x^{3} - 4 x + 5) (\frac{10}{x^{2}} - 20 x + 14) + {(x^{3} - 4 x + 5)}^{2} (- \frac{10}{x^{3}} - 10)$