Cálculo Exemplos

$h (x) = \frac{5 x + 1}{(x + 3) (x - 5)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 5 x + 1$ e $g (x) = (x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1] - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 + 0) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) \cdot 5 - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $5$ para a esquerda de $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{5 \cdot ((x + 3) (x - 5)) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 5$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $x + 3$ por $1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + 0))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) \cdot 1)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.8.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + x - 5)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x + 3 - 5)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 4.8.4

Subtraia $5$ de $3$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 3) (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{(5 x + 15) (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Expanda $(5 x + 15) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x (x - 5) + 15 (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 15 (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.4.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.1.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 25 x + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.1.3

Multiplique $15$ por $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 25 x + 15 x - 75 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3.2

Some $- 25 x$ e $15 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.4.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- 5 x - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- 5 x - 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5

Expanda $(- 5 x - 1) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.4.1.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.6.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.4.1.6.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 x^{2} - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.1.3

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 2 x - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 2 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.6.2

Subtraia $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 8 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Subtraia $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 10 x - 75 + 8 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.3

Some $- 10 x$ e $8 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 2 x - 75 + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.4.4

Some $- 75$ e $2$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 2 x - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - 2 x - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (2 x) - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x) - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.8

Reescreva $- 73$ como $- 1 (73)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (73)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x + 73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.10

Reescreva $- (5 x^{2} + 2 x + 73)$ como $- 1 (5 x^{2} + 2 x + 73)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} + 2 x + 73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Etapa 5.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x^{2} + 2 x + 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$