Cálculo Exemplos

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ .

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ .

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Etapa 2.1

Como $400$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ em relação a $t$ é $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ .

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t + \ln (24 + t^{2})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ .

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = 24 + t^{2}$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 + t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.6

Como $24$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $24$ em relação a $t$ é $0$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.8

Some $0$ e $2 t$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.9

Combine $2$ e $\frac{1}{24 + t^{2}}$ .

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.10

Combine $\frac{2}{24 + t^{2}}$ e $t$ .

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.11

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 2.13

Combine $400$ e $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1

Como $60000$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $60000$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Etapa 3.2

Como $- 400 \ln (24)$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 400 \ln (24)$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $400$ por $24$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $400$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Etapa 4.2.3

Some $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ e $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

Etapa 4.2.4

Some $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ e $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Etapa 4.4

Fatore $400$ de $400 t^{2} + 800 t + 9600$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $400$ de $400 t^{2}$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Etapa 4.4.2

Fatore $400$ de $800 t$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

Etapa 4.4.3

Fatore $400$ de $9600$ .

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Etapa 4.4.4

Fatore $400$ de $400 t^{2} + 400 (2 t)$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Etapa 4.4.5

Fatore $400$ de $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$