Cálculo Exemplos

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Etapa 1.2

Como $160$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ em relação a $k$ é $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ .

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Etapa 1.3

Reescreva $\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ como ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ .

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ é $f' (g (k)) g' (k)$ , em que $f (k) = k^{- 1}$ e $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $160$ .

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ com relação a $k$ é $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $1$ em relação a $k$ é $0$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

Etapa 3.5

Como $0.05$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $0.05 e^{- 2 k}$ em relação a $k$ é $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

Etapa 3.6

Multiplique $0.05$ por $- 160$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ é $f' (g (k)) g' (k)$ , em que $f (k) = e^{k}$ e $g (k) = - 2 k$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $k$ , a derivada de $- 2 k$ em relação a $k$ é $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

Etapa 5.2

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ é $n k^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

Etapa 5.4

Multiplique $e^{- 2 k}$ por $1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $16$ e $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ e $e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

Etapa 6.3

Reordene os termos.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Fatore $0.05$ de $0.05 e^{- 2 k} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Fatore $0.05$ de $0.05 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

Etapa 6.4.1.2

Fatore $0.05$ de $1$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

Etapa 6.4.1.3

Fatore $0.05$ de $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

Etapa 6.4.2

Aplique a regra do produto a $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Etapa 6.4.3

Eleve $0.05$ à potência de $2$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Etapa 6.5

Fatore $16$ de $16 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Etapa 6.6

Fatore $0.0025$ de $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

Etapa 6.7

Separe as frações.

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Etapa 6.8

Divida $16$ por $0.0025$ .

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Etapa 6.9

Combine $6400$ e $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ .

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$