Cálculo Exemplos

$N (t) = \frac{2500}{(1 + 20.7) {(e)}^{- 0.8 t}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Some $1$ e $20.7$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{2500}{21.7 {(e)}^{- 0.8 t}}]$

Etapa 1.2

Como $\frac{2500}{21.7}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{2500}{21.7 e^{- 0.8 t}}$ em relação a $t$ é $\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [\frac{1}{e^{- 0.8 t}}]$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [\frac{1}{e^{- 0.8 t}}]$

Etapa 1.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\frac{1}{e^{- 0.8 t}}$ como ${(e^{- 0.8 t})}^{- 1}$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [{(e^{- 0.8 t})}^{- 1}]$

Etapa 1.3.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{- 0.8 t})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [e^{- 0.8 t \cdot - 1}]$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.8$ .

$\frac{2500}{21.7} \frac{d}{d t} [e^{0.8 t}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 0.8 t$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $0.8 t$ .

$\frac{2500}{21.7} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [0.8 t])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{2500}{21.7} (e^{u} \frac{d}{d t} [0.8 t])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $0.8 t$ .

$\frac{2500}{21.7} (e^{0.8 t} \frac{d}{d t} [0.8 t])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $e^{0.8 t}$ e $\frac{2500}{21.7}$ .

$\frac{e^{0.8 t} \cdot 2500}{21.7} \frac{d}{d t} [0.8 t]$

Etapa 3.2

Mova $2500$ para a esquerda de $e^{0.8 t}$ .

$\frac{2500 \cdot e^{0.8 t}}{21.7} \frac{d}{d t} [0.8 t]$

Etapa 3.3

Como $0.8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.8 t$ em relação a $t$ é $0.8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2500 e^{0.8 t}}{21.7} (0.8 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.4

Combine frações.

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Etapa 3.4.1

Combine $0.8$ e $\frac{2500 e^{0.8 t}}{21.7}$ .

$\frac{0.8 (2500 e^{0.8 t})}{21.7} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2500$ por $0.8$ .

$\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7} \cdot 1$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7}$ por $1$ .

$\frac{2000 e^{0.8 t}}{21.7}$