Cálculo Exemplos

$H (z) = \frac{8 z - z - 3 z^{2}}{2 + 9 z}$

Etapa 1

Subtraia $z$ de $8 z$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{7 z - 3 z^{2}}{2 + 9 z}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ é $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , em que $f (z) = 7 z - 3 z^{2}$ e $g (z) = 2 + 9 z$ .

$\frac{(2 + 9 z) \frac{d}{d z} [7 z - 3 z^{2}] - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 z - 3 z^{2}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [7 z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (\frac{d}{d z} [7 z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $7$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $7 z$ em relação a $z$ é $7 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 + \frac{d}{d z} [- 3 z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 3$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- 3 z^{2}$ em relação a $z$ é $- 3 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 3 \frac{d}{d z} [z^{2}]) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 3 (2 z)) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [2 + 9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + 9 z$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [9 z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (\frac{d}{d z} [2] + \frac{d}{d z} [9 z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $2$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $2$ em relação a $z$ é $0$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (0 + \frac{d}{d z} [9 z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d z} [9 z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [9 z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.11

Como $9$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $9 z$ em relação a $z$ é $9 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - (7 z - 3 z^{2}) (9 \frac{d}{d z} [z])}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.12

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2}) \frac{d}{d z} [z]}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2}) \cdot 1}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 3.14

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z - 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 + 9 z) (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Expanda $(2 + 9 z) (7 - 6 z)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (7 - 6 z) + 9 z (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 6 z) + 9 z (7 - 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \cdot 7 + 2 (- 6 z) + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{14 + 2 (- 6 z) + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$\frac{14 - 12 z + 9 z \cdot 7 + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.3

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 z (- 6 z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 z \cdot z - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.5

Multiplique $z$ por $z$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.2.1.5.1

Mova $z$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 (z \cdot z) - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $z$ por $z$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z + 9 \cdot - 6 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.1.6

Multiplique $9$ por $- 6$ .

$\frac{14 - 12 z + 63 z - 54 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2.2

Some $- 12 z$ e $63 z$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 9 (7 z) - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $7$ por $- 9$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 63 z - 9 (- 3 z^{2})}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 9$ .

$\frac{14 + 51 z - 54 z^{2} - 63 z + 27 z^{2}}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $63 z$ de $51 z$ .

$\frac{14 - 54 z^{2} - 12 z + 27 z^{2}}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Some $- 54 z^{2}$ e $27 z^{2}$ .

$\frac{14 - 27 z^{2} - 12 z}{{(2 + 9 z)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{- 27 z^{2} - 12 z + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore $- 1$ de $- 27 z^{2}$ .

$\frac{- (27 z^{2}) - 12 z + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- 12 z$ .

$\frac{- (27 z^{2}) - (12 z) + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.6

Fatore $- 1$ de $- (27 z^{2}) - (12 z)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z) + 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.7

Reescreva $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z) - 1 (- 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.8

Fatore $- 1$ de $- (27 z^{2} + 12 z) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (27 z^{2} + 12 z - 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.9

Reescreva $- (27 z^{2} + 12 z - 14)$ como $- 1 (27 z^{2} + 12 z - 14)$ .

$\frac{- 1 (27 z^{2} + 12 z - 14)}{{(9 z + 2)}^{2}}$

Etapa 4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{27 z^{2} + 12 z - 14}{{(9 z + 2)}^{2}}$