Cálculo Exemplos

$p (x) = 2000 x - 300 x \ln (1000 x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2000 x - 300 x \ln (1000 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2000 x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2000 x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2000 x]$ .

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Etapa 2.1

Como $2000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2000 x$ em relação a $x$ é $2000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Etapa 2.3

Multiplique $2000$ por $1$ .

$2000 + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 300$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 300 x \ln (1000 x)$ em relação a $x$ é $- 300 \frac{d}{d x} [x \ln (1000 x)]$ .

$2000 - 300 \frac{d}{d x} [x \ln (1000 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (1000 x)$ .

$2000 - 300 (x \frac{d}{d x} [\ln (1000 x)] + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1000 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1000 x$ .

$2000 - 300 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1000 x$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Como $1000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1000 x$ em relação a $x$ é $1000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \cdot 1)) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \cdot 1)) + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.7

Multiplique $1000$ por $1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} \cdot 1000) + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{1000 x}$ e $1000$ .

$2000 - 300 (x \frac{1000}{1000 x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.9

Cancele o fator comum de $1000$ .

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Etapa 3.9.1

Cancele o fator comum.

$2000 - 300 (x \frac{1000}{1000 x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.9.2

Reescreva a expressão.

$2000 - 300 (x \frac{1}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.10

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2000 - 300 (\frac{x}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.11.1

Cancele o fator comum.

$2000 - 300 (\frac{x}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.11.2

Reescreva a expressão.

$2000 - 300 (1 + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Etapa 3.12

Multiplique $\ln (1000 x)$ por $1$ .

$2000 - 300 (1 + \ln (1000 x))$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2000 - 300 \cdot 1 - 300 \ln (1000 x)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 300$ por $1$ .

$2000 - 300 - 300 \ln (1000 x)$

Etapa 4.2.2

Subtraia $300$ de $2000$ .

$1700 - 300 \ln (1000 x)$