Cálculo Exemplos

$q (x) = \sin (x) \sec (2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sin (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\sin (x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \cdot (\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) \cos (x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$2 \sec (2 x) \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.3

Combine $\frac{2}{\cos (2 x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.4

Reescreva $\tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.5

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)}$ por $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.5.2

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.5.3

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Etapa 5.2.6

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.2.7

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Fatore $\cos (2 x)$ de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.2

Separe as frações.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.3

Reescreva $\frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$ como um produto.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.4

Escreva $\sin (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.5.2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.6

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.7

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.8

Divida $2$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.9

Reescreva $\frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$ como um produto.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.10

Escreva $\cos (x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.11

Simplifique.

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Etapa 5.3.11.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 5.3.11.2

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$