Cálculo Exemplos

$q (t) = \frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$

Etapa 1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = t^{2} - 5 t - 3$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $t^{2} - 5 t - 3$ por $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 5 t - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 5 t$ em relação a $t$ é $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.8

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + 0)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.9

Combine frações.

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Etapa 3.9.1

Some $2 t - 5$ e $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 3.9.2

Combine $5$ e $\frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t) - t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 t^{2} + 5 (- 5 t) + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.3.1

Mova $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- (t \cdot t) \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.3.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t^{2} \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- 2 t^{2}) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (5 t)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.1.7

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t$ .

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Etapa 4.3.2.1

Some $- 25 t$ e $25 t$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2} + 0}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $10 t^{2}$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore $5$ de $- 5 t^{2} - 15$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $5$ de $- 5 t^{2}$ .

$\frac{5 (- t^{2}) - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $5$ de $- 15$ .

$\frac{5 (- t^{2}) + 5 (- 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $5$ de $5 (- t^{2}) + 5 (- 3)$ .

$\frac{5 (- t^{2} - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- t^{2}$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 1 (3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- (t^{2}) - 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.8

Reescreva $- (t^{2} + 3)$ como $- 1 (t^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 (t^{2} + 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$