Cálculo Exemplos

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

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Etapa 2.1

Como $i$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $t^{2} i$ em relação a $t$ é $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

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Etapa 3.1

Como $j$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $(1 - t) j$ em relação a $t$ é $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.8

Mova $- 1$ para a esquerda de $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 3.9

Reescreva $- 1 j$ como $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

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Etapa 4.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Etapa 4.2

Combine $\frac{2 t^{3}}{3}$ e $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Etapa 4.3

Como $\frac{2 k}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{2 t^{3} k}{3}$ em relação a $t$ é $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Etapa 4.5

Combine $3$ e $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Etapa 4.7

Combine $\frac{6 k}{3}$ e $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Etapa 4.8

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 4.8.1

Fatore $3$ de $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Etapa 4.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Etapa 4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Etapa 4.8.2.4

Divida $2 k t^{2}$ por $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Etapa 5

Reordene os termos.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$