Cálculo Exemplos

$r (t) = e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i]$ .

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Etapa 2.1

Como $i$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $e^{5 t} i$ em relação a $t$ é $i \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 5 t$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 t$ .

$i (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$i (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 t$ .

$i (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.3

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$i (e^{5 t} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$i (e^{5 t} \cdot 5) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.6

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 t}$ .

$i (5 \cdot e^{5 t}) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 2.7

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$5 i e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j]$ .

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Etapa 3.1

Como $j$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $e^{5 t} \cos (t) j$ em relação a $t$ é $j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = e^{5 t}$ e $g (t) = \cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.3

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 5 t$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.5

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \cdot 5)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 3.8

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

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Etapa 4.1

Como $k$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $e^{5 t} \sin (t) k$ em relação a $t$ é $k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = e^{5 t}$ e $g (t) = \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

Etapa 4.3

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 5 t$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [5 t]))$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [5 t]))$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]))$

Etapa 4.5

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])))$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1)))$

Etapa 4.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \cdot 5))$

Etapa 4.8

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t)) + k (\sin (t) (5 e^{5 t}))$

Etapa 5.3

Remova os parênteses desnecessários.

$5 i e^{5 t} + j e^{5 t} (- \sin (t)) + j \cos (t) (5 e^{5 t}) + k e^{5 t} \cos (t) + k \sin (t) (5 e^{5 t})$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} - j e^{5 t} \sin (t) + 5 j e^{5 t} \cos (t) + k e^{5 t} \cos (t) + 5 k e^{5 t} \sin (t)$