Cálculo Exemplos

$r (t) = \frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{t} \cdot i + \ln (t) j + e^{2 t} k$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t} \cdot i]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{t}$ e $i$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{i}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 2.2

Como $i$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{i}{t}$ em relação a $t$ é $i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{- 1}] + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{d}{d t} [\ln (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d t} [\ln (t) j]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $j$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\ln (t) j$ em relação a $t$ é $j \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (t)$ em relação a $t$ é $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + j \frac{1}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 3.3

Combine $j$ e $\frac{1}{t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + \frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d t} [e^{2 t} k]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $k$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $e^{2 t} k$ em relação a $t$ é $k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 2 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{u} \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Etapa 4.3

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (e^{2 t} \cdot 2)$

Etapa 4.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 t}$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + k (2 \cdot e^{2 t})$

Etapa 4.7

Mova $2$ para a esquerda de $k$ .

$i (- t^{- 2}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$i (- \frac{1}{t^{2}}) + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Etapa 5.2

Combine $i$ e $\frac{1}{t^{2}}$ .

$- \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t} + 2 k e^{2 t}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $2 e^{2 t} k - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$ .

$2 k e^{2 t} - \frac{i}{t^{2}} + \frac{j}{t}$