Cálculo Exemplos

$r (t) = \frac{{(5 t - 6)}^{4}}{3 t^{2} + 4}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = {(5 t - 6)}^{4}$ e $g (t) = 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [{(5 t - 6)}^{4}] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{4}$ e $g (t) = 5 t - 6$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 t - 6$ .

$\frac{(3 t^{2} + 4) (4 {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $4$ para a esquerda de $3 t^{2} + 4$ .

$\frac{4 \cdot (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \frac{d}{d t} [5 t - 6] - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 t - 6$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + \frac{d}{d t} [- 6]) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.6

Como $- 6$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 6$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} (5 + 0) - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $5$ e $0$ .

$\frac{4 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} \cdot 5 - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.7.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 4]}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} + 4$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.9

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.11

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.12

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.13.1

Some $6 t$ e $0$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - {(5 t - 6)}^{4} (6 t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 3.13.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{20 (3 t^{2} + 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(20 (3 t^{2}) + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Fatore ${(5 t - 6)}^{3}$ de $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3} - 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

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Etapa 4.2.1.1

Fatore ${(5 t - 6)}^{3}$ de $(20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) {(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) - 6 {(5 t - 6)}^{4} t}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.2

Fatore ${(5 t - 6)}^{3}$ de $- 6 {(5 t - 6)}^{4} t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.1.3

Fatore ${(5 t - 6)}^{3}$ de ${(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4) + {(5 t - 6)}^{3} (- 6 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Fatore $2$ de $20 \cdot 3 t^{2} + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t$ .

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $2$ de $20 \cdot 3 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 20 \cdot 4 - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $2$ de $20 \cdot 4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) - 6 (5 t - 6) t)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Fatore $2$ de $- 6 (5 t - 6) t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.4

Fatore $2$ de $2 (10 \cdot 3 t^{2}) + 2 (10 \cdot 4)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.2.5

Fatore $2$ de $2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4) + 2 (- 3 (5 t - 6) t)$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (10 \cdot 3 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $10$ por $3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 10 \cdot 4 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $10$ por $4$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 3 (5 t - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 3 (5 t) - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.6

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t - 3 \cdot - 6) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.7

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 + (- 15 t + 18) t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t \cdot t + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.9

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.9.1

Mova $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 (t \cdot t) + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.9.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (30 t^{2} + 40 - 15 t^{2} + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.10

Subtraia $15 t^{2}$ de $30 t^{2}$ .

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} (2 (15 t^{2} + 40 + 18 t))}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.2.11

Reordene os termos.

$\frac{{(5 t - 6)}^{3} \cdot 2 (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(5 t - 6)}^{3}$ .

$\frac{2 {(5 t - 6)}^{3} (15 t^{2} + 18 t + 40)}{{(3 t^{2} + 4)}^{2}}$