Cálculo Exemplos

$r (t) = (t^{2} - t) (4 - t)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2} - t$ e $g (t) = 4 - t$ .

$(t^{2} - t) \frac{d}{d t} [4 - t] + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$(t^{2} - t) (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t]) + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4$ em relação a $t$ é $0$ .

$(t^{2} - t) (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$(t^{2} - t) \frac{d}{d t} [- t] + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$(t^{2} - t) (- \frac{d}{d t} [t]) + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(t^{2} - t) (- 1 \cdot 1) + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(t^{2} - t) \cdot - 1 + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $t^{2} - t$ .

$- 1 \cdot (t^{2} - t) + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.6.3

Reescreva $- 1 (t^{2} - t)$ como $- (t^{2} - t)$ .

$- (t^{2} - t) + (4 - t) \frac{d}{d t} [t^{2} - t]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$- (t^{2} - t) + (4 - t) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (t^{2} - t) + (4 - t) (2 t + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 2.9

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- (t^{2} - t) + (4 - t) (2 t - \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (t^{2} - t) + (4 - t) (2 t - 1 \cdot 1)$

Etapa 2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (t^{2} - t) + (4 - t) (2 t - 1)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{2} - - t + (4 - t) (2 t - 1)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{2} - - t + (4 - t) (2 t) + (4 - t) \cdot - 1$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{2} - - t + 4 (2 t) - t (2 t) + (4 - t) \cdot - 1$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{2} - - t + 4 (2 t) - t (2 t) + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- t^{2} + 1 t + 4 (2 t) - t (2 t) + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.2

Multiplique $t$ por $1$ .

$- t^{2} + t + 4 (2 t) - t (2 t) + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$- t^{2} + t + 8 t - t (2 t) + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 t \cdot t + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.5

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 (t^{1} t) + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.6

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 (t^{1} t^{1}) + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- t^{2} + t + 8 t - 2 t^{1 + 1} + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.8

Some $1$ e $1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 t^{2} + 4 \cdot - 1 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.9

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 t^{2} - 4 - t \cdot - 1$

Etapa 3.5.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 t^{2} - 4 + 1 t$

Etapa 3.5.11

Multiplique $t$ por $1$ .

$- t^{2} + t + 8 t - 2 t^{2} - 4 + t$

Etapa 3.5.12

Some $8 t$ e $t$ .

$- t^{2} + t + 9 t - 2 t^{2} - 4$

Etapa 3.5.13

Some $t$ e $9 t$ .

$- t^{2} + 10 t - 2 t^{2} - 4$

Etapa 3.5.14

Subtraia $2 t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$- 3 t^{2} + 10 t - 4$