Cálculo Exemplos

$g (x) = \ln (| 7 x - 4 |)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | 7 x - 4 |$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $| 7 x - 4 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $| 7 x - 4 |$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = 7 x - 4$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $7 x - 4$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Etapa 2.2

A derivada de $| u_{2} |$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7 x - 4$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Etapa 3

Multiplique $\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 |}$ por $\frac{1}{| 7 x - 4 |}$ .

$\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 | | 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Etapa 4

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\frac{7 x - 4}{| (7 x - 4) (7 x - 4) |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Etapa 5

Eleve $7 x - 4$ à potência de $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1} (7 x - 4) |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Etapa 6

Eleve $7 x - 4$ à potência de $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1} {(7 x - 4)}^{1} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Etapa 8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 10

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 12

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 13

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 + 0)$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} \cdot 7$

Etapa 14.2

Combine $\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$ e $7$ .

$\frac{(7 x - 4) \cdot 7}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 14.3

Mova $7$ para a esquerda de $7 x - 4$ .

$\frac{7 \cdot (7 x - 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (7 x) + 7 \cdot - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 15.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{49 x + 7 \cdot - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $7$ por $- 4$ .

$\frac{49 x - 28}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 15.3

Fatore $7$ de $49 x - 28$ .

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Etapa 15.3.1

Fatore $7$ de $49 x$ .

$\frac{7 (7 x) - 28}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 15.3.2

Fatore $7$ de $- 28$ .

$\frac{7 (7 x) + 7 (- 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Etapa 15.3.3

Fatore $7$ de $7 (7 x) + 7 (- 4)$ .

$\frac{7 (7 x - 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$