Cálculo Exemplos

$g (x) = 3 \cot (x - e^{- 2 x})$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cot (x - e^{- 2 x})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cot (x - e^{- 2 x})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cot (x - e^{- 2 x})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = x - e^{- 2 x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x - e^{- 2 x}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - e^{- 2 x}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\cot (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$3 (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - e^{- 2 x}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - e^{- 2 x}$ .

$3 (- \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [x - e^{- 2 x}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\csc^{2} (x - e^{- 2 x}) \frac{d}{d x} [x - e^{- 2 x}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - e^{- 2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 - e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 + 2 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 + 2 e^{- 2 x} \cdot 1)$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 3 \csc^{2} (x - e^{- 2 x}) (1 + 2 e^{- 2 x})$