Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{e^{x}}{1 - 4 x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 4 x$ .

$\frac{(1 - 4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.5

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x} \cdot 1}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 3.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Some $e^{x}$ e $4 e^{x}$ .

$\frac{- 4 x e^{x} + 5 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{- 4 e^{x} x + 5 e^{x}}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore $e^{x}$ de $- 4 e^{x} x + 5 e^{x}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $e^{x}$ de $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- 4 x) + 5 e^{x}}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- 4 x) + e^{x} \cdot 5}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (- 4 x) + e^{x} \cdot 5$ .

$\frac{e^{x} (- 4 x + 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{e^{x} (- (4 x) + 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.6

Reescreva $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{e^{x} (- (4 x) - 1 (- 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{e^{x} (- (4 x - 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.8

Reescreva $- (4 x - 5)$ como $- 1 (4 x - 5)$ .

$\frac{e^{x} (- 1 (4 x - 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{e^{x} (4 x - 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$