Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{3^{x}}{7 x + 6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = 7 x + 6$ .

$\frac{(7 x + 6) \frac{d}{d x} [3^{x}] - 3^{x} \frac{d}{d x} [7 x + 6]}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$\frac{(7 x + 6) (3^{x} \ln (3)) - 3^{x} \frac{d}{d x} [7 x + 6]}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 + \frac{d}{d x} [6])}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} (7 + 0)}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 3^{x} \cdot 7}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{(7 x + 6) \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(7 x \cdot 3^{x} + 6 \cdot 3^{x}) \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x \cdot 3^{x} \ln (3) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Simplifique $7 \ln (3)$ movendo $7$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (3^{7}) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $3$ à potência de $7$ .

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 6 \cdot 3^{x} \ln (3) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique $6 \ln (3)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 3^{x} \ln (3^{6}) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.3.4

Eleve $3$ à potência de $6$ .

$\frac{x \cdot 3^{x} \ln (2187) + 3^{x} \ln (729) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{3^{x} x \ln (2187) + 3^{x} \ln (729) - 7 \cdot 3^{x}}{{(7 x + 6)}^{2}}$