Cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{6 x - 7}{7 x + 2} \cdot x^{3}$

Etapa 1

Combine $\frac{6 x - 7}{7 x + 2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(6 x - 7) x^{3}}{7 x + 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = (6 x - 7) x^{3}$ e $g (x) = 7 x + 2$ .

$\frac{(7 x + 2) \frac{d}{d x} [(6 x - 7) x^{3}] - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 6 x - 7$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{(7 x + 2) ((6 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(7 x + 2) ((6 x - 7) (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.2

Mova $3$ para a esquerda de $6 x - 7$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 \cdot (6 x - 7) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [6 x - 7]) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.7

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} (6 + 0)) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.8.1

Some $6$ e $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + x^{3} \cdot 6) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.8.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 \cdot x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 2]}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.10

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.12

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 + \frac{d}{d x} [2])}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.13

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} (7 + 0)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.14

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.14.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - (6 x - 7) x^{3} \cdot 7}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 4.14.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(7 x + 2) ((3 (6 x) + 3 \cdot - 7) x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) + (- 7 (6 x) - 7 \cdot - 7) x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 (x^{2} x)) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.5.1.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 (x^{2} x^{1})) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x^{2 + 1}) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(7 x + 2) (3 (6 x^{3}) + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.1.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{(7 x + 2) (18 x^{3} + 3 \cdot - 7 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.1.3

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$\frac{(7 x + 2) (18 x^{3} - 21 x^{2} + 6 x^{3}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.2

Some $18 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$\frac{(7 x + 2) (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.3

Expanda $(7 x + 2) (24 x^{3} - 21 x^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x (24 x^{3} - 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x (24 x^{3}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3} - 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 x (24 x^{3}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.5.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{7 \cdot 24 x \cdot x^{3} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1.4.1.2.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{7 \cdot 24 (x^{3} x) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.2.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 5.5.1.4.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{7 \cdot 24 (x^{3} x^{1}) + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7 \cdot 24 x^{3 + 1} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.2.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{7 \cdot 24 x^{4} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.3

Multiplique $7$ por $24$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 x (- 21 x^{2}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x \cdot x^{2} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.5

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1.4.1.5.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 (x^{2} x) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.5.1.4.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 (x^{2} x^{1}) + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x^{2 + 1} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.5.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{168 x^{4} + 7 \cdot - 21 x^{3} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.6

Multiplique $7$ por $- 21$ .

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 2 (24 x^{3}) + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.7

Multiplique $24$ por $2$ .

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 48 x^{3} + 2 (- 21 x^{2}) - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.1.8

Multiplique $- 21$ por $2$ .

$\frac{168 x^{4} - 147 x^{3} + 48 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.4.2

Some $- 147 x^{3}$ e $48 x^{3}$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x) x^{3} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.5

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.1.5.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 (x^{3} x)) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.5.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 5.5.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 (x^{3} x^{1})) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x^{3 + 1}) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.5.3

Some $3$ e $1$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 7 (6 x^{4}) - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.6

Multiplique $6$ por $- 7$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 42 x^{4} - 7 \cdot - 7 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.1.7

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$\frac{168 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} - 42 x^{4} + 49 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $42 x^{4}$ de $168 x^{4}$ .

$\frac{126 x^{4} - 99 x^{3} - 42 x^{2} + 49 x^{3}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.5.3

Some $- 99 x^{3}$ e $49 x^{3}$ .

$\frac{126 x^{4} - 50 x^{3} - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $2 x^{2}$ de $126 x^{4} - 50 x^{3} - 42 x^{2}$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $2 x^{2}$ de $126 x^{4}$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) - 50 x^{3} - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6.2

Fatore $2 x^{2}$ de $- 50 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x) - 42 x^{2}}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6.3

Fatore $2 x^{2}$ de $- 42 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x) + 2 x^{2} (- 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6.4

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (63 x^{2}) + 2 x^{2} (- 25 x)$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x) + 2 x^{2} (- 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$

Etapa 5.6.5

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x) + 2 x^{2} (- 21)$ .

$\frac{2 x^{2} (63 x^{2} - 25 x - 21)}{{(7 x + 2)}^{2}}$