Cálculo Exemplos

$g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{3} (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{10}$ e $g (x) = \tan^{3} (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (x)$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{10} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Etapa 3

Mova $3$ para a esquerda de ${(x^{2} + x + 1)}^{10}$ .

$3 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Etapa 4

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{10}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{10}$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + x + 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 6.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1 + 0))$

Etapa 6.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.5.1

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$3 {(x^{2} + x + 1)}^{10} \tan^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan^{3} (x) (10 {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1))$

Etapa 6.5.2

Reordene os termos.

$3 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{10} + 10 \tan^{3} (x) {(x^{2} + x + 1)}^{9} (2 x + 1)$