Cálculo Exemplos

$g (x) = (x^{3} - 2 x) (2 x + 5)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3} - 2 x$ e $g (x) = 2 x + 5$ .

$(x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x + 5] + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x^{3} - 2 x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{3} - 2 x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$(x^{3} - 2 x) (2 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{3} - 2 x) (2 + 0) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$(x^{3} - 2 x) \cdot 2 + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3} - 2 x$ .

$2 \cdot (x^{3} - 2 x) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) + (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (x^{3} - 2 x) + (2 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.9

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{3} - 2 x) + (2 x + 5) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) + (2 x + 5) (3 x^{2} - 2 \cdot 1)$

Etapa 2.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 (x^{3} - 2 x) + (2 x + 5) (3 x^{2} - 2)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x) + (2 x + 5) (3 x^{2} - 2)$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x) + (2 x + 5) (3 x^{2}) + (2 x + 5) \cdot - 2$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 x (3 x^{2}) + 5 (3 x^{2}) + (2 x + 5) \cdot - 2$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 x (3 x^{2}) + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 x^{3} - 4 x + 2 x (3 x^{2}) + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 x \cdot x^{2} + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.3

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.3.1

Mova $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 (x^{2} x) + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.5.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 (x^{2} x^{1}) + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{3} - 4 x + 6 x^{2 + 1} + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.3.3

Some $2$ e $1$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 x^{3} + 5 (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 x^{3} + 15 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x + 5 \cdot - 2$

Etapa 3.5.6

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$2 x^{3} - 4 x + 6 x^{3} + 15 x^{2} - 4 x - 10$

Etapa 3.5.7

Some $2 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$8 x^{3} - 4 x + 15 x^{2} - 4 x - 10$

Etapa 3.5.8

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$8 x^{3} + 15 x^{2} - 8 x - 10$