Cálculo Exemplos

$g (x) = (x^{2} + 1) \arctan (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + 0)$

Etapa 3.4

Some $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $x^{2} + 1$ por $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ e $1 + x^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$1 + 2 x \arctan (x)$