Cálculo Exemplos

$g (x) = {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = \frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = 1 + \sin (3 t)$ e $g (t) = 3 - 2 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [1 + \sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (3 t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (0 + \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \frac{d}{d t} [\sin (3 t)] - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 4.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 t$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) (\cos (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t]) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) (3 \cdot 1) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{(3 - 2 t) \cos (3 t) \cdot 3 - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $(3 - 2 t) \cos (3 t)$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 \cdot ((3 - 2 t) \cos (3 t)) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [3 - 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.5

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3$ em relação a $t$ é $0$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.6

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [- 2 t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.7

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) - (1 + \sin (3 t)) (- 2 \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.8

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \frac{d}{d t} [t]}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t)) \cdot 1}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 5.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$- {(\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t})}^{- 2} \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1 + \sin (3 t)}{3 - 2 t}$ .

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 (3 - 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{(3 \cdot 3 + 3 (- 2 t)) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 (1 + \sin (3 t))}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{{(1 + \sin (3 t))}^{- 2}}{{(3 - 2 t)}^{- 2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.5

Combine os termos.

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Etapa 6.5.1

Mova ${(1 + \sin (3 t))}^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 - 2 t)}^{- 2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.5.2

Mova ${(3 - 2 t)}^{- 2}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 3 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.5.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) + 3 (- 2 t) \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.5.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 \cdot 1 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}} \cdot \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$

Etapa 6.5.6

Multiplique $\frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(3 - 2 t)}^{2}}$ por $\frac{{(3 - 2 t)}^{2}}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$ .

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

Etapa 6.5.7

Cancele o fator comum de ${(3 - 2 t)}^{2}$ .

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Etapa 6.5.7.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{(9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)) {(3 - 2 t)}^{2}}{{(3 - 2 t)}^{2} {(1 + \sin (3 t))}^{2}}$

Etapa 6.5.7.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{9 \cos (3 t) - 6 t \cos (3 t) + 2 + 2 \sin (3 t)}{{(1 + \sin (3 t))}^{2}}$