Cálculo Exemplos

$g (x) = (7 x^{2} + 9) (8 x + \sqrt{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{2} + 9) (8 x + x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 7 x^{2} + 9$ e $g (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}] + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 3.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 3.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 8.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 10

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 12

Multiplique $2$ por $7$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 13

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + 0)$

Etapa 14

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.1

Some $14 x$ e $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x)$

Etapa 14.2

Mova $14$ para a esquerda de $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (14 (8 x) + 14 x^{\frac{1}{2}}) x$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 (8 x) x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.3

Combine os termos.

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Etapa 15.3.1

Multiplique $8$ por $14$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x \cdot x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x^{1}) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{1 + 1} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.3.5

Some $1$ e $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 15.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Etapa 15.3.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 15.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Etapa 15.3.10

Some $2$ e $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.4

Reordene os termos.

$112 x^{2} + (7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.5.1

Expanda $(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$112 x^{2} + 7 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.5.2.1

Multiplique $8$ por $7$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.2

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 15.5.2.2.1

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $7 x^{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.2.2

Fatore $x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.3

Combine $7$ e $\frac{1}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.4

Combine $x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{7}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.5

Mova $7$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.6

Multiplique $9$ por $8$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.5.2.7

Combine $9$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.6

Some $112 x^{2}$ e $56 x^{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Etapa 15.7

Para escrever $14 x^{\frac{3}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.8

Combine $14 x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.10.1

Fatore $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

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Etapa 15.10.1.1

Mova $x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10.1.2

Fatore $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10.1.3

Fatore $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10.1.4

Fatore $7 x^{\frac{3}{2}}$ de $7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10.3

Some $1$ e $4$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.10.4

Multiplique $5$ por $7$ .

$168 x^{2} + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$