Cálculo Exemplos

$g (t) = {(4 t + 3 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $4 t$ e $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [{(7 t)}^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

Etapa 1.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a regra do produto a $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [7^{2} t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

Etapa 1.2.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{d}{d t} [49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

Etapa 1.3

Como $49$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $49 t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}$ em relação a $t$ é $49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$ .

$49 \frac{d}{d t} [t^{2} {(3 t^{2} - 9)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = {(3 t^{2} - 9)}^{3}$ .

$49 (t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t^{2} - 9)}^{3}] + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 3 t^{2} - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$49 (t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 t^{2} - 9$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} - 9]) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 t^{2} - 9$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t^{2}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [- 9])) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.5

Como $- 9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 9$ em relação a $t$ é $0$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (6 t + 0)) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Some $6 t$ e $0$ .

$49 (t^{2} (3 {(3 t^{2} - 9)}^{2} (6 t)) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 4.6.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$49 (t^{2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2} t) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 5

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova $t$ .

$49 (t \cdot t^{2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 5.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$49 (t^{1} t^{2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$49 (t^{1 + 2} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 5.3

Some $1$ e $2$ .

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + {(3 t^{2} - 9)}^{3} (2 t))$

Etapa 7

Mova $2$ para a esquerda de ${(3 t^{2} - 9)}^{3}$ .

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$49 (t^{3} (18 {(3 t^{2} - 9)}^{2})) + 49 (2 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

Etapa 8.2

Multiplique $18$ por $49$ .

$882 (t^{3} ({(3 t^{2} - 9)}^{2})) + 49 (2 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

Etapa 8.3

Multiplique $2$ por $49$ .

$882 t^{3} {(3 t^{2} - 9)}^{2} + 98 ({(3 t^{2} - 9)}^{3} t)$

Etapa 8.4

Fatore $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ de $882 t^{3} {(3 t^{2} - 9)}^{2} + 98 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Fatore $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ de $882 t^{3} {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ .

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2}) + 98 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t$

Etapa 8.4.2

Fatore $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ de $98 {(3 t^{2} - 9)}^{3} t$ .

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2}) + 98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 t^{2} - 9)$

Etapa 8.4.3

Fatore $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2}$ de $98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2}) + 98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (3 t^{2} - 9)$ .

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (9 t^{2} + 3 t^{2} - 9)$

Etapa 8.5

Some $9 t^{2}$ e $3 t^{2}$ .

$98 t {(3 t^{2} - 9)}^{2} (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.6

Reescreva ${(3 t^{2} - 9)}^{2}$ como $(3 t^{2} - 9) (3 t^{2} - 9)$ .

$98 t ((3 t^{2} - 9) (3 t^{2} - 9)) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.7

Expanda $(3 t^{2} - 9) (3 t^{2} - 9)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$98 t (3 t^{2} (3 t^{2} - 9) - 9 (3 t^{2} - 9)) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$98 t (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2} - 9)) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$98 t (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$98 t (3 \cdot 3 t^{2} t^{2} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.2

Multiplique $t^{2}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$98 t (3 \cdot 3 (t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$98 t (3 \cdot 3 t^{2 + 2} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$98 t (3 \cdot 3 t^{4} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$98 t (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot - 9 - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.4

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$98 t (9 t^{4} - 27 t^{2} - 9 (3 t^{2}) - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.5

Multiplique $3$ por $- 9$ .

$98 t (9 t^{4} - 27 t^{2} - 27 t^{2} - 9 \cdot - 9) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.1.6

Multiplique $- 9$ por $- 9$ .

$98 t (9 t^{4} - 27 t^{2} - 27 t^{2} + 81) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.8.2

Subtraia $27 t^{2}$ de $- 27 t^{2}$ .

$98 t (9 t^{4} - 54 t^{2} + 81) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.9

Aplique a propriedade distributiva.

$(98 t (9 t^{4}) + 98 t (- 54 t^{2}) + 98 t \cdot 81) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.10.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(98 \cdot 9 t \cdot t^{4} + 98 t (- 54 t^{2}) + 98 t \cdot 81) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.10.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(98 \cdot 9 t \cdot t^{4} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 98 t \cdot 81) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.10.3

Multiplique $81$ por $98$ .

$(98 \cdot 9 t \cdot t^{4} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1

Multiplique $t$ por $t^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1.1

Mova $t^{4}$ .

$(98 \cdot 9 (t^{4} t) + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.1.2

Multiplique $t^{4}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(98 \cdot 9 (t^{4} t^{1}) + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(98 \cdot 9 t^{4 + 1} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.1.3

Some $4$ e $1$ .

$(98 \cdot 9 t^{5} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.2

Multiplique $98$ por $9$ .

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 t \cdot t^{2} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.3.1

Mova $t^{2}$ .

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 (t^{2} t) + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.3.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.11.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 (t^{2} t^{1}) + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 t^{2 + 1} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.3.3

Some $2$ e $1$ .

$(882 t^{5} + 98 \cdot - 54 t^{3} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.11.4

Multiplique $98$ por $- 54$ .

$(882 t^{5} - 5292 t^{3} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$

Etapa 8.12

Expanda $(882 t^{5} - 5292 t^{3} + 7938 t) (12 t^{2} - 9)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$882 t^{5} (12 t^{2}) + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$882 \cdot 12 t^{5} t^{2} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.2

Multiplique $t^{5}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.2.1

Mova $t^{2}$ .

$882 \cdot 12 (t^{2} t^{5}) + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$882 \cdot 12 t^{2 + 5} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.2.3

Some $2$ e $5$ .

$882 \cdot 12 t^{7} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.3

Multiplique $882$ por $12$ .

$10584 t^{7} + 882 t^{5} \cdot - 9 - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.4

Multiplique $- 9$ por $882$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 t^{3} (12 t^{2}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 t^{3} t^{2} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.6

Multiplique $t^{3}$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.6.1

Mova $t^{2}$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 (t^{2} t^{3}) - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 t^{2 + 3} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.6.3

Some $2$ e $3$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 5292 \cdot 12 t^{5} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.7

Multiplique $- 5292$ por $12$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} - 5292 t^{3} \cdot - 9 + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.8

Multiplique $- 9$ por $- 5292$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 t (12 t^{2}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.9

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 t \cdot t^{2} + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.10

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.10.1

Mova $t^{2}$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 (t^{2} t) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.10.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.13.10.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 (t^{2} t^{1}) + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 t^{2 + 1} + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.10.3

Some $2$ e $1$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 7938 \cdot 12 t^{3} + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.11

Multiplique $7938$ por $12$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 95256 t^{3} + 7938 t \cdot - 9$

Etapa 8.13.12

Multiplique $- 9$ por $7938$ .

$10584 t^{7} - 7938 t^{5} - 63504 t^{5} + 47628 t^{3} + 95256 t^{3} - 71442 t$

Etapa 8.14

Subtraia $63504 t^{5}$ de $- 7938 t^{5}$ .

$10584 t^{7} - 71442 t^{5} + 47628 t^{3} + 95256 t^{3} - 71442 t$

Etapa 8.15

Some $47628 t^{3}$ e $95256 t^{3}$ .

$10584 t^{7} - 71442 t^{5} + 142884 t^{3} - 71442 t$