Cálculo Exemplos

$g (r) = \frac{7 r - 3}{e^{r} + 9}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ é $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ , em que $f (r) = 7 r - 3$ e $g (r) = e^{r} + 9$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \frac{d}{d r} [7 r - 3] - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 r - 3$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (\frac{d}{d r} [7 r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $7$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $7 r$ em relação a $r$ é $7 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + \frac{d}{d r} [- 3]) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 3$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- 3$ em relação a $r$ é $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) (7 + 0) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $7$ e $0$ .

$\frac{(e^{r} + 9) \cdot 7 - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $7$ para a esquerda de $e^{r} + 9$ .

$\frac{7 \cdot (e^{r} + 9) - (7 r - 3) \frac{d}{d r} [e^{r} + 9]}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{r} + 9$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (\frac{d}{d r} [e^{r}] + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ é $a^{r} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + \frac{d}{d r} [9])}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1

Como $9$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $9$ em relação a $r$ é $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) (e^{r} + 0)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $e^{r}$ e $0$ .

$\frac{7 (e^{r} + 9) - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 + (- (7 r) - - 3) e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 e^{r} + 7 \cdot 9 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - (7 r) e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} - - 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{7 e^{r} + 63 - 7 r e^{r} + 3 e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Some $7 e^{r}$ e $3 e^{r}$ .

$\frac{10 e^{r} + 63 - 7 r e^{r}}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.5

Reordene os termos.

$\frac{- 7 e^{r} r + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.6

Fatore $- 1$ de $- 7 e^{r} r$ .

$\frac{- (7 e^{r} r) + 10 e^{r} + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.7

Fatore $- 1$ de $10 e^{r}$ .

$\frac{- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.8

Fatore $- 1$ de $- (7 e^{r} r) - (- 10 e^{r})$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) + 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.9

Reescreva $63$ como $- 1 (- 63)$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.10

Fatore $- 1$ de $- (7 e^{r} r - 10 e^{r}) - 1 (- 63)$ .

$\frac{- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.11

Reescreva $- (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ como $- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)$ .

$\frac{- 1 (7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63)}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$

Etapa 5.13

Reordene os fatores em $- \frac{7 e^{r} r - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{7 r e^{r} - 10 e^{r} - 63}{{(e^{r} + 9)}^{2}}$