Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\ln (\sec (2 x)))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (\sec (2 x))$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 3

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 5

Combine frações.

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Etapa 5.1

Multiplique $\cos (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{\ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Etapa 5.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6.2

A derivada de $\sec (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x$ .

$\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Combine $\sec (2 x)$ e $\frac{\cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 7.2

Combine $\tan (2 x)$ e $\frac{\sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{\tan (2 x) (\sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.4

Combine $2$ e $\frac{\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ .

$\frac{2 (\tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x))}{\ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))} \cdot 1$

Etapa 7.6

Multiplique $\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$ por $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Reescreva $\tan (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.2

Combine $2$ e $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \sec (2 x) \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.3

Reescreva $\sec (2 x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.4

Multiplique $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$ .

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Etapa 8.4.1

Multiplique $\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ por $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.4.2

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.4.3

Eleve $\cos (2 x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.5

Cancele o fator comum de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 8.5.1

Fatore $\cos (2 x)$ de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.6

Separe as frações.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.7

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\frac{\frac{2}{1} \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$

Etapa 8.8

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{2 \tan (2 x)}{\ln (\sec (2 x))}$