Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\frac{x^{2}}{4 x - 3})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{4 x - 3}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x^{2}}{4 x - 3}$ .

$1 \frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 x - 3}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{(4 x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $4 x - 3$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 \cdot (4 x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.8

Combine frações.

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Etapa 5.8.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - x^{2} \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x - 3}{x^{2}} \cdot \frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.8.3

Multiplique $\frac{4 x - 3}{x^{2}}$ por $\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{{(4 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{x^{2} {(4 x - 3)}^{2}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $4 x - 3$ de $x^{2} {(4 x - 3)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 x - 3) (2 (4 x - 3) x - 4 x^{2})}{(4 x - 3) (x^{2} (4 x - 3))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (4 x - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 (4 x) + 2 \cdot - 3) x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x - 3)}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (4 x) x + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (4 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 (4 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 6 x - 4 x^{2}}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.5

Combine os termos.

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Etapa 7.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.1.1

Mova $x$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x \cdot x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 7.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1} x^{2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{1 + 2} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.5.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{x^{3} \cdot 4 + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.5.2

Mova $4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 \cdot x^{3} + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.5.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Etapa 7.6

Fatore $2 x$ de $4 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 7.6.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x) - 6 x}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Etapa 7.6.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 2 x (- 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Etapa 7.6.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Etapa 7.7

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

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Etapa 7.7.1

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) - 3 x^{2}}$

Etapa 7.7.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3}$

Etapa 7.7.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$ .

$\frac{2 x (2 x - 3)}{x^{2} (4 x - 3)}$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 7.8.1

Fatore $x$ de $2 x (2 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x^{2} (4 x - 3)}$

Etapa 7.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.8.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Etapa 7.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 (2 x - 3))}{x (x (4 x - 3))}$

Etapa 7.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (2 x - 3)}{x (4 x - 3)}$