Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{2} \cdot (3 x) + 7)$

Etapa 1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Etapa 1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{2} \cdot 3 + 7)]$

Etapa 1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 + 2} \cdot 3 + 7)]$

Etapa 1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} \cdot 3 + 7)]$

Etapa 2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3 \cdot x^{3} + 7)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 4.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2} + 0)$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Some $9 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{3 x^{3} + 7} (9 x^{2})$

Etapa 4.6.2

Combine $9$ e $\frac{1}{3 x^{3} + 7}$ .

$\frac{9}{3 x^{3} + 7} x^{2}$

Etapa 4.6.3

Combine $\frac{9}{3 x^{3} + 7}$ e $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2}}{3 x^{3} + 7}$