Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (e^{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) \frac{d}{d x} [e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}])$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}])$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}])$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}])$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 11

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 12

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (e^{x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (e^{x} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$