Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (4 x) \sin^{4} (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (4 x)$ e $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\cos (4 x) (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$\cos (4 x) (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 3

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$4 \cdot \cos (4 x) \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 5.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x) \cdot 1)$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$4 \cos (4 x) \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin^{4} (x) (- 4 \sin (4 x))$

Etapa 6.4.2

Reordene os termos.

$4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cos (4 x) - 4 \sin^{4} (x) \sin (4 x)$