Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (\tan (\sqrt{x}))$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (\tan (x^{\frac{1}{2}}))]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 12

Combine $\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ .

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (x^{- \frac{1}{2}} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})))}{2}$

Etapa 13

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (x^{\frac{1}{2}}) \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Reescreva $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{{(\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{2} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ .

$- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}$ e $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ .

$- \frac{\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 14.4

Combine.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \cdot 1}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.5

Multiplique $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ por $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 14.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot \cos^{2} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.7

Fatore $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ de $\cos^{2} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.8

Separe as frações.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})})$

Etapa 14.9

Reescreva $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ como um produto.

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

Etapa 14.10

Escreva $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

Etapa 14.11

Simplifique.

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Etapa 14.11.1

Divida $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ por $1$ .

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}))$

Etapa 14.11.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ em $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- (\frac{1}{2 (\cos (x^{\frac{1}{2}})) x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Etapa 14.12

Separe as frações.

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Etapa 14.13

Converta de $\frac{1}{\cos (x^{\frac{1}{2}})}$ em $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}) (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Etapa 14.14

Combine $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- (\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})))$

Etapa 14.15

Multiplique $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} (\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}))$ .

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Etapa 14.15.1

Combine $\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}}))$ e $\frac{\sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- (\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} \sec (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 14.15.2

Combine $\frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.15.3

Eleve $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.15.4

Eleve $\sec (x^{\frac{1}{2}})$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) (\sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}) \sec^{1} (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.15.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) {\sec (x^{\frac{1}{2}})}^{1 + 1}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.15.6

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\sin (\tan (x^{\frac{1}{2}})) \sec^{2} (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$