Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .

$1 \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x} + 1$ e $g (x) = e^{x} - 1$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1] - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie.

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Etapa 7.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) (e^{x} + 0) - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 9.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.1

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \cdot \frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ por $\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}}$

Etapa 10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1

Fatore $e^{x} - 1$ de $(e^{x} + 1) {(e^{x} - 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Etapa 10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(e^{x} - 1) ((e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x})}{(e^{x} - 1) ((e^{x} + 1) (e^{x} - 1))}$

Etapa 10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(e^{x} - 1) e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - (e^{x} + 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} + (- e^{x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.1

Combine os termos opostos em $e^{x} e^{x} - 1 e^{x} - e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}$ .

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Etapa 11.4.1.1

Subtraia $e^{x} e^{x}$ de $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{0 - 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.4.1.2

Subtraia $1 e^{x}$ de $0$ .

$\frac{- 1 e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.4.2.1

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- e^{x} - 1 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.4.2.3

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} - e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.4.3

Subtraia $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$

Etapa 11.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 e^{x}}{(e^{x} + 1) (e^{x} - 1)}$