Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\frac{e^{x}}{e^{x} + 1})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$1 \frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 7

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 8.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 8.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 9

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{x + x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 9.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x}} \cdot \frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}$ por $\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}}$

Etapa 11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $e^{x} + 1$ de $e^{x} {(e^{x} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(e^{x} + 1) ((e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x})}{(e^{x} + 1) (e^{x} (e^{x} + 1))}$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(e^{x} + 1) e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x + x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.3.1.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{e^{2 x} + 1 e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.3.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.3.2

Combine os termos opostos em $e^{2 x} + e^{x} - e^{2 x}$ .

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Etapa 12.3.2.1

Subtraia $e^{2 x}$ de $e^{2 x}$ .

$\frac{0 + e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.3.2.2

Some $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.4

Combine os termos.

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Etapa 12.4.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x}}{e^{x + x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.4.1.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x} \cdot 1}$

Etapa 12.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x}}{e^{2 x} + e^{x}}$

Etapa 12.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 12.5.1

Reescreva $e^{2 x}$ como ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{{(e^{x})}^{2} + e^{x}}$

Etapa 12.5.2

Deixe $u = e^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{u^{2} + u}$

Etapa 12.5.3

Fatore $u$ de $u^{2} + u$ .

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Etapa 12.5.3.1

Fatore $u$ de $u^{2}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u}$

Etapa 12.5.3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u^{1}}$

Etapa 12.5.3.3

Fatore $u$ de $u^{1}$ .

$\frac{e^{x}}{u \cdot u + u \cdot 1}$

Etapa 12.5.3.4

Fatore $u$ de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{e^{x}}{u (u + 1)}$

Etapa 12.5.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Etapa 12.6

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 12.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x}}{e^{x} (e^{x} + 1)}$

Etapa 12.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{e^{x} + 1}$