Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (\sqrt{x^{3}})$

Etapa 1

Reescreva $\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{3}})]$ como $\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\sqrt{x^{2} x})]$

Etapa 1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \sqrt{x})]$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x \cdot x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{1 + \frac{1}{2}})]$

Etapa 3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Etapa 3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Etapa 3.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{3}{2}})]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{1 + {(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.4

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{3}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{3}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{1 + x^{3}}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{3}) \cdot 2}$

Etapa 12

Mova $2$ para a esquerda de $1 + x^{3}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x^{3})}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 + 2 x^{3}}$

Etapa 13.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 + 2 x^{3}}$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3} + 2}$