Cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x \ln (6 x - 9 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Subtraia $9 x$ de $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 x \ln (- 3 x)]$

Etapa 1.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x \ln (- 3 x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x \ln (- 3 x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x \ln (- 3 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (- 3 x)$ .

$9 (x \frac{d}{d x} [\ln (- 3 x)] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = - 3 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 3 x$ .

$9 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$9 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x$ .

$9 (x (\frac{1}{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 (x (- \frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3 x}$ .

$9 (- \frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$9 (- \frac{x}{3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$9 (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [- 3 x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (- \frac{1}{3} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$9 (3 (\frac{1}{3}) \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.2

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.4.3.1

Cancele o fator comum.

$9 (\frac{3}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.3.2

Reescreva a expressão.

$9 (1 \frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4.4

Multiplique $\frac{d}{d x} [x]$ por $1$ .

$9 (\frac{d}{d x} [x] + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (1 + \ln (- 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (1 + \ln (- 3 x) \cdot 1)$

Etapa 4.7

Multiplique $\ln (- 3 x)$ por $1$ .

$9 (1 + \ln (- 3 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 \cdot 1 + 9 \ln (- 3 x)$

Etapa 5.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$9 + 9 \ln (- 3 x)$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$9 \ln (- 3 x) + 9$