Cálculo Exemplos

$f (x) = arcsec (\sqrt{x + 1})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arcsec (x)$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $arcsec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(x + 1)}^{1} - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 1 - 1}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x + 0}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 13

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 14

Multiplique $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 16

Simplifique a expressão.

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Etapa 16.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 16.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 17.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{1} \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 18

Simplifique.

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 19

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 21

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} (1 + 0)$

Etapa 22

Simplifique a expressão.

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Etapa 22.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}} \cdot 1$

Etapa 22.2

Multiplique $\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 1) \sqrt{x}}$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{(2 x + 2 \cdot 1) \sqrt{x}}$

Etapa 23.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 x \sqrt{x} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3

Combine os termos.

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Etapa 23.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 23.3.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 23.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + 1} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1 \sqrt{x}}$

Etapa 23.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x}}$